Factoriales: Qué son, cómo calcularlos y ejemplos

El uso de factoriales es sencillo y tiene muchas aplicaciones en el mundo real. Las empresas, por ejemplo, pueden emplearlos para calcular permutaciones y combinaciones con fines comerciales, como determinar cuántos camiones de reparto se necesitan en cada distrito. Si trabajas en logística o te dedicas a las finanzas o al software informático, es posible que incorpores problemas matemáticos que impliquen factoriales.

En este artículo, discutimos qué es un factorial, cómo calcular un factorial, damos problemas de ejemplo de factoriales y respondemos a las preguntas más frecuentes sobre los factoriales.

¿Qué es un factorial?

Una función factorial en matemáticas es aquella que multiplica un número (n) por cada número que le precede. En términos más sencillos, la función factorial multiplica todos los enteros desde el número elegido hasta el uno. El factorial de un número (n!) es n(n-1). Por ejemplo, para calcular el factorial de cuatro, se escribiría

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Puedes utilizar los factoriales para encontrar el número de formas en que se pueden disponer (n) objetos. Cuando el orden de cada elemento es importante, por ejemplo, cuando se discute la contraseña de una caja de seguridad, se trata de una permutación. Cuando el orden no importa, es una combinación. Por ejemplo, si quieres saber cuántas combinaciones puedes hacer con el número de tres cifras 725, debes encontrar el factorial de 3, que es

¡3! = 3 x 2 x 1 = 6.

Esto significa que hay seis combinaciones que se pueden hacer con el número 725: 725, 752, 572, 527, 275 y 257.

La fórmula factorial es:

¡n! ¡= n*(n -1)!

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Cómo calcular un factorial

Puedes seguir estos pasos para resolver un factorial:

1. Determine el número

Determine el número del que está encontrando el factorial. Un factorial tiene un número entero positivo y un signo de exclamación. Por ejemplo, si quiere encontrar el factorial del número ocho, matemáticamente sería así:

¡8!

2. Escriba la secuencia

Utilizando la fórmula factorial, puedes escribir la secuencia de números que vas a multiplicar. Esto incluye el número para el que está encontrando el factorial, el número ocho en este ejemplo, y todos los números que descienden secuencialmente desde él hasta el uno. Matemáticamente, sería así:

¡n! = n(n-1) =

8(8 − 1)(8 − 2)(8 − 3)(8 − 4)(8 − 5)(8 − 6)(8 − 7)

3. Multiplica los números

Una vez escrita la secuencia de números, puedes multiplicarlos entre sí. Si multiplica todos los números de este ejemplo, 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1, obtendrá una respuesta final de 40.320. Matemáticamente, se ve así:

¡n! = n(n-1) =

8(8 − 1)(8 − 2)(8 − 3)(8 − 4)(8 − 5)(8 − 6)(8 − 7) =

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

También puede calcular un factorial utilizando una calculadora científica. La calculadora debe tener un botón con el símbolo «x Signo «. Escriba el número para el que desea encontrar el factorial, en este caso, el número ocho, y luego pulse el signo «x » botón. La calculadora debería darle la misma respuesta, 40.320.

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Ejemplos

A continuación se presentan algunos problemas de ejemplo que utilizan factoriales:

Ejemplo 1

Problema: ¿De cuántas formas puedes ordenar las letras de la palabra «empresa» sin repetirlas?

Para este problema, cuente el número de letras de la palabra «empresa» para encontrar que hay seis letras. A continuación, halla el factorial del número seis, ya sea a mano o utilizando una calculadora científica. Si resuelves el problema a mano, debería ser así:

¡n! = n(n-1) =

6(6 − 1)(6 − 2)(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) =

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ahora ya sabes que el número máximo de formas en que puedes ordenar las letras de la palabra «empresa» sin que se repitan es 720.

Ejemplo 2

Problema: ¿Qué combinaciones puedes hacer con los colores rojo, azul y verde?

Para este problema, encuentra el factorial para el número tres porque hay tres colores, y luego enumera las diferentes combinaciones. Si resuelves este problema a mano, debería quedar así:

¡n! = n(n-1) =

3(3 − 1)(3 − 2) =

3 x 2 x 1 = 6

Las seis combinaciones son:

rojo, azul, verde

rojo, verde, azul

verde, azul, rojo

verde, rojo, azul

azul, rojo, verde

azul, verde, rojo

Ejemplo 3

Problema: Hallar el factorial del número 15.

Aunque es posible resolver este problema a mano, podría llevar mucho tiempo porque 15 es un número grande. Es más fácil utilizar una calculadora científica. Para resolver este problema con una calculadora, debes:

  1. Escribe el número 15 en tu calculadora.
  2. Pulsa el botón «x!» de tu calculadora.
  3. La respuesta 1.307.674.368.000 debería aparecer en la calculadora.

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Preguntas frecuentes sobre los factoriales

He aquí algunas respuestas a preguntas comunes sobre los factoriales:

¿Puedes encontrar el factorial del número cero?

Sí, se puede encontrar el factorial para el número cero. Los matemáticos están de acuerdo en que el factorial para el número cero es uno, o sea 0! =1. Puede parecer extraño que 0! =1, pero es fácil de entender si se sigue el patrón de factoriales hacia atrás. Mira este patrón empezando por 4!:

4! = 24

¡3! = 6

¡2! = 2

1! = 1

0! = 1

Puedes notar que cada respuesta es divisible secuencialmente y al seguir el patrón, predice la siguiente respuesta y muestra que ¡0! =1. Los números divisibles secuencialmente están en negrita:

4! = 24, (24 ÷ 4 = 6)

¡3! = 6, (6 ÷ 3 = 2)

¡2! = 2, (2 ÷ 2 = 1)

1! = 1, (1 ÷ 1 = 1)

0! = 1

¿Puedes encontrar el factorial de un número negativo?

No, no se puede encontrar el factorial para un número negativo. Para encontrar el factorial de un número entero negativo, tendría que dividir por cero. Sin embargo, dividir por cero no está definido. Por lo tanto, los factoriales de números enteros negativos son indefinidos.

¿Puedes encontrar el factorial de un decimal?

Sí, puedes encontrar el factorial de un decimal. Si quieres aprender a encontrar el factorial de un decimal, es posible que quieras aprender sobre la función gamma, que también se llama a veces «medios factoriales» Estos problemas se complican rápidamente. ¡Por ejemplo, el factorial de una mitad, o 0,5, es la mitad de la raíz cuadrada de pi, o (-1/2)! = √π.

3. ¿Cuáles son los 15 primeros factoriales?

Como puede ver en este gráfico, los factoriales crecen muy rápidamente. Puede ser útil utilizar una calculadora científica para resolver problemas de factoriales, especialmente cuando se trabaja con números grandes.

nn!011122364245120672075,040840,3209362,880103,628,8001139,916,80012479,001,600136,227,020,8001487,178,291,200151,307,674,368,000