En finanzas, la fórmula de la desviación estándar se utiliza para medir la dispersión, comparar la media de un conjunto de números y evaluar el riesgo, así como para determinar las tasas de rendimiento y orientar a los gestores de carteras. Los estudiantes utilizan esta fórmula en estadística y teoría de la probabilidad.
En este artículo, hablaremos de lo que es la desviación estándar, cuándo calcularla, qué aspecto tiene la fórmula, cómo utilizarla y cómo se compara con la desviación estándar relativa.
¿Qué es la desviación estándar?
Cuando los datos están estrechamente relacionados con la media, tienen una desviación estándar baja, lo que significa que los datos son muy fiables. Cuando los datos no están estrechamente relacionados con la media, tienen una desviación estándar alta, lo que significa que los datos no son tan fiables. La desviación estándar es una medida estadística de la cantidad de variación de un número con respecto a la media.
Otra forma de pensar en la desviación estándar es como una medida del desembolso, o de la dispersión de los datos. Es una forma de medir la distancia que separa cada punto de datos del valor medio.
Hay dos versiones de la fórmula de la desviación estándar:
- Versión de la población: La versión poblacional de la fórmula se utiliza cuando se puede medir toda una población, o todo el conjunto de datos. Esta es la versión más común de la fórmula.
- Versión de muestra: Se utiliza la versión muestral de la fórmula cuando no es posible medir toda la población, o conjunto de datos. En su lugar, se trabaja con una muestra aleatoria de datos de la población. Aunque a veces es necesaria, la versión de la muestra es menos precisa y sólo proporciona una estimación.
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Cuándo calcular la desviación estándar
La desviación típica puede utilizarse para algo más que para la estadística, la teoría de la probabilidad, la química y las matemáticas. Tiene aplicaciones en el mundo real en muchos campos, pero especialmente en las finanzas. La desviación típica es una de las medidas fundamentales del riesgo que utilizan los analistas, los gestores de carteras y los asesores de inversión. He aquí algunos ejemplos:
- Puede utilizar la fórmula de la desviación estándar para hallar la tasa de rendimiento anual de una inversión o estudiar la volatilidad histórica de una inversión.
- Las empresas de inversión pueden utilizar la desviación estándar para informar sobre sus fondos de inversión y otros productos, ya que muestra si el rendimiento de los fondos se desvía de las expectativas normales.
- Puedes utilizarla para predecir las tendencias de rendimiento o para ayudarte con las estrategias de negociación en el mercado.
- Puede ayudar a los gestores de carteras a diferenciar entre fondos de crecimiento agresivos, que tienen una desviación típica elevada, o fondos de crecimiento más estables, que tienen una desviación típica menor.
En las aplicaciones del mundo real, rara vez se resuelve la fórmula de la desviación estándar a mano con lápiz y papel. Calcular la fórmula a mano lleva mucho tiempo y existe un alto riesgo de cometer un error. Normalmente, con la tecnología actual, se resuelven los cálculos de la desviación típica mediante programas informáticos u hojas de cálculo. Sin embargo, cuando se aprende por primera vez la fórmula de la desviación estándar, resulta útil resolver algunos problemas a mano, ya que permite comprender cómo funciona realmente la fórmula.
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La fórmula de la desviación estándar
La fórmula para calcular la desviación típica es:
Tal que así:
- σ = la desviación estándar
- μ = la media de todos los valores
- xi = los valores individuales de x
- x = un valor del conjunto de datos
- N = el número de puntos de datos
- i = todos los valores de 1 a N
Notas importantes:
- σ es la letra griega sigma
- μ es la letra griega mu
- ∑ es la notación sigma para sumar
- √ es el símbolo de la raíz cuadrada
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Cómo calcular la desviación estándar
Siga estos pasos para calcular la desviación estándar utilizando la fórmula de la desviación estándar de la población:
1. Calcula la media de los números de los datos con los que estás trabajando
Se puede hallar la media, también conocida como promedio, sumando todos los números de un conjunto de datos y dividiéndolos por el número de números que hay en el conjunto. El conjunto de datos para este problema de ejemplo es 6, 8, 12, 14. Suma todos los números del conjunto de datos y luego divide por 4 para obtener un promedio de 10.
(6 + 8 + 12 + 14) ÷ 4 = 10
2. Resta la media de cada uno y eleva el resultado al cuadrado
Toma cada uno de los números del conjunto de datos y réstalo por la media, que es 10. Después de restar, toma cada respuesta y eleva al cuadrado ese número.
(6 – 10)2 = (-4)2 = 16
(8 – 10)2 = (-2)2 = 4
(12 – 10)2 = (2)2 = 4
(14 – 10)2 = (4)2 = 16
3. Calcula la media de las diferencias al cuadrado
De nuevo vas a encontrar la media del conjunto de números, que ahora son 16, 4, 4 y 16. Suma los cuatro números para obtener un total de 40 y luego divide 40 entre cuatro. La respuesta es 10.
(16 + 4 + 4 + 16) ÷ 4 = 10
4. Sacar la raíz cuadrada
Para el último paso, toma la raíz cuadrada de la respuesta anterior, 10. La desviación estándar para este conjunto de números es 3,1622776601684. Para simplificar las cosas, redondea la respuesta a la milésima más cercana para obtener una respuesta de 3,162.
√10 = 3,1622776601684
Todo esto significa que el número medio del conjunto de datos es 10 y que cada uno de los números del conjunto de datos se distribuye aproximadamente a 3.162 unidades del número medio de 10. Esto tiene sentido cuando se observa el conjunto de datos de 6, 8, 12 y 14, ya que cada uno de estos números tiene una desviación estándar de 3,162 unidades, o sea que se aleja aproximadamente 3,162 unidades del número 10.
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7. Desviación estándar frente a la desviación estándar relativa
La desviación estándar relativa, o RSD, es una forma especial de desviación estándar que, en ciertas circunstancias, es más conveniente. Se utiliza con frecuencia en estadística, teoría de la probabilidad, química y matemáticas. Es útil para las empresas cuando se comparan datos, por ejemplo, en entornos financieros como el mercado de valores.
Para encontrar la respuesta a un problema de desviación estándar relativa, se multiplica la desviación estándar por 100 y luego se divide este producto por la media para expresarlo en porcentaje. La fórmula de la desviación típica relativa es
(S ∗ 100) ÷ X = desviación estándar relativa
En la fórmula, S es la desviación estándar y X es la media.
Ejemplo
Si tienes cuatro medidas que son 51,3, 55,6, 49,9 y 52,0 y quieres hallar la desviación típica relativa, entonces primero hallarías la desviación típica, que es 2,4. A continuación, se toma 2,4 y se multiplica por 100, que es 240. A continuación, dividiríamos 240 por la media de las cuatro cifras, que es 52,2, para obtener el 4,6%.
(2,4 ∗ 100) ÷ 52,2 = 4,6%