Hay varios tipos de ecuaciones algebraicas que aparecen con más frecuencia que otras. Puede ser útil reconocer el tipo de ecuación con el que te enfrentas para conocer sus propiedades. Si estás resolviendo un problema, conocer las cualidades particulares del tipo de problema al que te enfrentas puede ser útil.
En este artículo, discutimos qué son las ecuaciones, por qué son importantes, la terminología de las ecuaciones, los diferentes tipos de ecuaciones, las principales categorías de ecuaciones y ejemplos de ecuaciones.
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es un enunciado matemático que expresa la igualdad de los valores de dos expresiones. Es un enunciado matemático que dice «esto es lo mismo que aquello» y aparece como una expresión en el lado izquierdo, un signo de igualdad en el centro y una expresión matemática en el lado derecho. El cero es un valor común para el lado derecho de una ecuación.
He aquí algunos ejemplos de ecuaciones simples y más complejas:
3 + 5 = 4 + 4.
dy/dx + x5y = x5y7
20×2 – 17x – 63 = 0
Cuando resuelves una ecuación con variables, determinas qué valor deben tener las variables para que la ecuación sea verdadera. Una vez que encuentras el valor de las variables y éstas satisfacen la ecuación haciéndola verdadera, se llama solución. Las ecuaciones de identidad son verdaderas para todos los valores de la variable. Las ecuaciones condicionales sólo son verdaderas para valores específicos de la variable.
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¿Por qué son importantes las ecuaciones?
Aunque no sea evidente, las ecuaciones matemáticas son una parte crucial del mundo actual. Sin ellas, no existirían muchos de los inventos modernos que utilizamos a diario, como los ordenadores, los televisores, los satélites y el GPS. Las ecuaciones matemáticas también son esenciales para muchos sectores, como la economía, la medicina, la ingeniería, la física y la informática, por nombrar sólo algunos. Incluso hay algunas ecuaciones famosas que han afectado en gran medida a la forma en que vives tu vida. Algunos ejemplos son:
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El teorema de Pitágoras Esta ecuación, a2 + b2 = c2, es el núcleo de la geometría, fundamento de la trigonometría y enlace con el álgebra. Gracias a ella se pueden elaborar mapas, realizar mediciones precisas y navegar. Todavía se utiliza hoy en día para la triangulación con el fin de localizar lugares con la navegación GPS.
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La ley universal de la gravitación de Newton: Esta ecuación, F = G (m1m2/d2), se utiliza para describir cómo funciona el mundo y es esencial para entender cómo interactúan los objetos. Todavía hoy se utiliza para diseñar órbitas, satélites, sondas y trayectorias óptimas para el lanzamiento de misiones espaciales.
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El origen de los números complejos: Esta ecuación, i 2 = -1, es importante para la creación de la mayoría de la tecnología moderna, y muchos inventos no existirían sin ella. Todavía hoy se utiliza para cosas como las cámaras digitales, la ingeniería, los aviones, el análisis complejo y la teoría matemática.
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La teoría de la relatividad de Einstein': Esta ecuación, E = mc2, es posiblemente la más famosa de toda la historia, ya que cambió totalmente la visión sobre la realidad y la materia. Todavía se utiliza hoy en día con las armas nucleares y los sistemas de posicionamiento global.
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La teoría de la información de Shannon Esta ecuación, H = – ∑ p(x) log p(x), es la que trajo la era de la información y los ingenieros la utilizan para casi todo lo que implique la detección de errores en la codificación. Todavía se utiliza hoy en día, desde los CD hasta la comunicación digital, pasando por Internet.
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Terminología de la ecuación
Para entender las ecuaciones matemáticas, también hay que comprender los términos utilizados para describirlas y explicarlas. Los siguientes términos matemáticos se utilizan con frecuencia cuando se habla de ecuaciones algebraicas:
- Expresión: Números, símbolos y signos de operación agrupados para mostrar un valor.
- Función: Una relación matemática en la que cada entrada tiene una única salida.
- Variable independiente: El valor de entrada de una función.
- Variable dependiente: El valor de salida de una función
- Variable: Un símbolo que representa un valor desconocido, normalmente una letra como la x o la y.
- Plazo: Un único número o variable o varios números y variables multiplicados
- Constante: Un valor fijo, como un número entero, a veces representado por una letra.
- Coeficiente: Número utilizado para multiplicar una variable, que suele aparecer antes de la variable.
- Exponente: El número que indica la operación de elevar un número de base a una potencia.
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Tipos de ecuaciones algebraicas
Estos son los tipos más comunes de ecuaciones algebraicas:
- Ecuaciones exponenciales: Las variables sustituyen a los exponentes.
- Ecuaciones lineales: Cada término es una constante o el producto de una constante y una única variable.
- Ecuaciones logarítmicas Un logaritmo siempre afecta a la incógnita.
- Ecuaciones polinómicas: Los términos contienen indeterminados y coeficientes o variables.
- Ecuaciones polinómicas irracionales: Hay al menos un polinomio bajo el signo radical.
- Ecuaciones cuadráticas: Una variable contiene otra variable con un exponente de dos.
- Ecuaciones cúbicas: La mayor suma de exponentes variables en cualquier término es tres.
- Ecuaciones cuádricas: La mayor suma de exponentes variables en cualquier término es cuatro.
- Ecuaciones quinticas: La mayor suma de exponentes variables en cualquier término es cinco.
- Ecuaciones radicales: El exponente máximo de la variable es 12 y hay más de un término.
- Ecuaciones racionales: Hay expresiones racionales.
- Ecuaciones trascendentales: Hay funciones trascendentales.
- Ecuaciones trigonométricas: Hay funciones trigonométricas.
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Principales categorías de ecuaciones algebraicas
Hay cinco categorías principales de ecuaciones algebraicas donde cada categoría tiene una entrada esperada diferente y resulta en una salida con una interpretación diferente. Puede distinguir cada una de las cinco categorías por la posición de la variable, el comportamiento de sus gráficos y los tipos de funciones y operadores utilizados. A continuación se explica un poco cada una de las cinco categorías algebraicas:
Ecuaciones polinómicas
Las ecuaciones de los polinomios tienen una expresión polinómica a cada lado del signo igual. Los polinomios tienen términos variables y exponentes de números enteros. Puedes clasificar cada ecuación polinómica por el número de términos de la expresión:
- Un término es un monomio.
- Dos términos es un binomio.
- Tres términos es un trinomio.
- Y así sucesivamente…
También puedes clasificar cada ecuación polinómica por su grado, que es el número de exponente más alto de la expresión:
- Un grado es lineal.
- Dos grados son cuadráticos.
- Tres grados son cúbicos.
- Y así sucesivamente…
Por ejemplo, este polinomio sería un binomio cúbico: x3-5. Y este polinomio sería un trinomio cuadrático: y2 – y – 4.
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Ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones exponenciales tienen una expresión exponencial a cada lado del signo igual. Las ecuaciones exponenciales son como las ecuaciones polinómicas, excepto que sus exponentes tienen un término variable. Puedes clasificar las funciones exponenciales como si mostraran un crecimiento exponencial, cuando la variable independiente tiene un coeficiente positivo, o como si mostraran un decaimiento exponencial, cuando la variable independiente tiene un coeficiente negativo. Las ecuaciones de crecimiento exponencial pueden demostrar la propagación de enfermedades, el crecimiento de la población o el interés compuesto. Las ecuaciones de decaimiento exponencial pueden demostrar fenómenos científicos como el decaimiento radiactivo.
Por ejemplo, una expresión exponencial puede tener este aspecto: x = 6(y-8) + 12.
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Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas tienen una expresión logarítmica a cada lado del signo igual. La inversa de las ecuaciones exponenciales son las ecuaciones logarítmicas. La base logarítmica de un número es igual al exponente al que se eleva la base para obtener el número. Por ejemplo, el log2 de 25 es 5 porque 2 a la quinta potencia es 25. La base logarítmica más común es el número trascendental «e» que a menudo se llama logaritmo natural. Muchos tipos de escalas de intensidad utilizan logaritmos, como la escala de decibelios para medir el sonido o la escala de Richter para medir los terremotos. La escala de decibelios tiene una base logarítmica de 10, por lo que si un sonido aumenta su intensidad en un decibelio, se multiplica por diez.
Por ejemplo, si tienes la expresión exponencial x = 4y, entonces la expresión inversa o logarítmica sería x = log4 y.
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Ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales tienen una expresión racional a cada lado del signo igual. Las ecuaciones algebraicas son racionales cuando tienen la forma de b(x) / d(x), donde b(x) y d(x) son polinomios. Las ecuaciones racionales suelen tener asíntotas, donde los valores de x e y en una gráfica de las ecuaciones se aproximan, pero nunca llegan.
Una ecuación racional con una asíntota vertical tiene un valor x que la gráfica nunca alcanza, y el valor y puede ser negativo o positivo hasta el infinito a medida que el valor x se acerca a la asíntota. Una ecuación racional con una asíntota horizontal tiene un valor de y que la gráfica nunca alcanza, y el valor de x puede ser negativo o positivo hasta el infinito a medida que el valor de y se acerca a la asíntota.
Por ejemplo, una expresión racional puede tener el siguiente aspecto (y-4) / (y2 – 6y + 3).
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Ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas tienen una expresión trigonométrica a cada lado del signo igual. Las funciones trigonométricas de tan, cos, sin cot, csc y sec están en las ecuaciones trigonométricas y describen la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo. La medida del ángulo es la variable independiente o entrada, y la razón es la variable dependiente o salida. Un hecho singular de las funciones trigonométricas es que son periódicas, lo que significa que después de un cierto tiempo su gráfico se repite.
Por ejemplo, la expresión trigonométrica x = sen y describe la relación entre el lado opuesto de un triángulo rectángulo y su hipotenusa con una medida de ángulo de y.
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Ejemplos de ecuaciones
Aquí tienes algunos ejemplos de ecuaciones algebraicas:
Ejemplo 1
Aquí tienes una ecuación que puedes resolver en un solo paso:
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4
Ejemplo 2
Esta es una ecuación que se puede resolver en dos pasos:
3x + 4 = 16
3x = 12
x = 12/3
x = 4
Ejemplo 3
Esta es una ecuación que requiere más de dos pasos:
4x + 3 = x + 12
4x – x = 12 – 3
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Ejemplo 4
Esta es una ecuación lineal:
(2x+5) / (x+4) = 1
2x+5 = 1(x+4)
2x+5 = x+4
2x-x = 4-5
x = -1
Ejemplo 5
He aquí otra ecuación lineal:
x+12 = x2 -2
x2+2x+1 = x2-2
x2-x2+2x+1 = -2
2x+1 = -2
2x+4 = 0
2(x+2) = 0
x+2 = 0
x = -2
Ejemplo 6
Esta es una ecuación radical:
√x-7 = 3
(√x-7)2 = 32
x-7 = 9
x = 16
Ejemplo 7
Aquí hay otra ecuación radical:
√2x-2 = x-1
(√2x-2)2 = (x-1)2
2x-2 = (x-1)(x-1)
2x-2 = x2-2x+1
0 = x2-4x+3
0 = (x-1)(x-3)
Ejemplo 8
He aquí una ecuación racional:
5/x – 5/6 = 5/3
(6x) 5/x – 5/6 = 5/3 (6x)
30 – 5x = 10X
(+5x) 30 – 5x = 10X (+5x)
30 = 15x
2 = x
Ejemplo 9
Esta es una ecuación logarítmica:
log(2x) = 4
10log(2x) = 104
2x = 104
2x = 10,000
x = 5,000
Ejemplo10
He aquí otra ecuación logarítmica:
2+5log3(x-1) = 12
5log3(x-1) = 10
log3(x-1) =2
3log3(x-1) = 32
x-1 = 32
x-1 = 9
x = 10